COMETA - Reperto 2: Kantharos

Reperto 2: Kantharos

Modello:

L’analisi del secondo reperto si distingue dagli altri due casi perché la modellazione matematica non viene utilizzata soltanto per descrivere la geometria conservata, ma anche per formulare una possibile ricostruzione di una parte mancante. L’elemento principale dello studio è costituito dalle due anse: una risulta quasi completamente conservata, mentre dell’altra rimangono soltanto l’attacco superiore e una porzione inferiore. La presenza di un’ansa integra ha quindi fornito un riferimento geometrico fondamentale per ricostruire quella lacunosa.

La prima fase dell’elaborazione in Mathematica ha riguardato l’isolamento dei punti appartenenti all’ansa conservata. Una volta separata dal resto della nuvola, la sua geometria è stata analizzata inizialmente in proiezione bidimensionale, così da individuarne con maggiore chiarezza l’andamento complessivo.

Il profilo dell’ansa è stato interpretato come una sorta di nastro delimitato da due bordi principali, uno esterno e uno interno. I punti appartenenti ai due bordi sono stati quindi selezionati separatamente e utilizzati per costruire due curve parametriche continue. In questo caso la descrizione matematica è stata ottenuta mediante una serie di coseni:

$x(u)=a_0+\sum_{n=1}^{N}a_n\cos(nu)$ $y(u)=b_0+\sum_{n=1}^{N}b_n\cos(nu),$

con

$0\leq u\leq\pi.$

Per ciascun bordo è stata utilizzata una serie troncata al decimo ordine. I coefficienti vengono determinati automaticamente in Mathematica mediante un fitting ai minimi quadrati, trasformando la distribuzione discreta dei punti in una curva regolare e continua. Lo scarto quadratico medio ottenuto, dell’ordine di pochi decimi di millimetro, conferma una buona corrispondenza tra le curve matematiche e il profilo effettivamente rilevato.

Una volta definite le curve dell’ansa conservata, si è passati a una prima ipotesi di ricostruzione di quella mancante. Il procedimento parte dalla specchiatura della geometria integra rispetto all’asse del vaso, attraverso la trasformazione

$x\rightarrow -x.$

La semplice simmetria, tuttavia, non risulta sufficiente. Il manufatto reale presenta infatti piccole differenze geometriche tra i due lati e una ricostruzione ottenuta esclusivamente per riflessione produrrebbe un risultato eccessivamente idealizzato.

Per questo motivo è stata realizzata in Mathematica un’interfaccia interattiva mediante Manipulate. La curva specchiata può essere progressivamente traslata, ruotata e scalata fino a ottenere il migliore raccordo possibile con le parti dell’ansa destra ancora conservate. È inoltre possibile modificare indipendentemente le dimensioni nelle due direzioni, lo spessore del profilo e l’intervallo del parametro $u$ , controllando quindi anche il punto iniziale e finale della porzione ricostruita.

Questa fase permette di utilizzare l’ansa integra come riferimento geometrico senza imporre una perfetta simmetria tra i due lati. La forma viene quindi adattata direttamente alla geometria del reperto attraverso piccoli aggiustamenti di posizione, inclinazione e scala. Il risultato costituisce una prima ricostruzione bidimensionale dell’andamento dell’ansa mancante.

La fase successiva ha riguardato il passaggio dal semplice profilo alla ricostruzione tridimensionale del filone. Per ottenere una geometria più aderente alla realtà non è stata utilizzata una sezione ideale, ma una sezione effettivamente conservata nel moncone inferiore dell’ansa lacunosa.

A una quota in cui il filone risulta ancora completo è stata quindi estratta una sezione trasversale reale. I punti della sezione sono stati riportati in un sistema di coordinate polari e descritti mediante una serie di Fourier del tipo

$r(u)=a_0+ \sum_{n=1}^{N} \left[a_n\cos(nu)+b_n\sin(nu)\right].$

La curva ottenuta segue il contorno reale della sezione e diventa la geometria generatrice utilizzata per ricostruire le sezioni mancanti lungo lo sviluppo dell’ansa.

La ricostruzione non consiste tuttavia nella semplice estrusione di questa forma. Lo spessore e la larghezza del filone cambiano infatti progressivamente lungo l’altezza. Per determinare questa variazione è stata analizzata l’ansa integra mediante una successione di sezioni poste a quote differenti.

Per ogni sezione sono state misurate due dimensioni caratteristiche: la semilarghezza $A(z)$ e il semispessore $B(z)$ . Dal confronto delle diverse quote emerge una progressiva rastremazione del filone verso la parte superiore. Queste variazioni vengono quindi trasformate in due coefficienti di scala:

$k_A(z)=\frac{A(z)}{A_0}$ $k_B(z)=\frac{B(z)}{B_0},$

dove $A_0$ e $B_0$ rappresentano le dimensioni della sezione di riferimento.

In questo modo la stessa curva parametrica utilizzata come sezione generatrice viene progressivamente deformata lungo lo sviluppo dell’ansa, modificandone separatamente larghezza e spessore. La forma ricostruita può così riprodurre la rastremazione osservata sull’elemento conservato.

Un ulteriore problema riguarda l’orientamento delle sezioni. L’ansa non si sviluppa lungo una direzione verticale rettilinea, ma segue una traiettoria curva e inclinata. Utilizzare semplicemente sezioni orizzontali porterebbe quindi a una deformazione della geometria ricostruita.

Per questo motivo viene individuato matematicamente anche l’asse del filone. A ogni punto della sua traiettoria viene associato un centro $C(z)$ e una direzione tangente $T(z)$ . Mathematica costruisce quindi, per ciascuna sezione, un sistema di riferimento locale costituito dalla tangente e da due vettori $e_1(z)$ ed $e_2(z)$ , appartenenti al piano normale alla traiettoria.

La sezione parametrica può così essere orientata correttamente nello spazio secondo una relazione del tipo

$P(z,u)=C(z) +k_A(z)\,r(u)\cos(u)\,e_1(z) +k_B(z)\,r(u)\sin(u)\,e_2(z).$

Il termine $C(z)$ determina la posizione della sezione lungo l’asse del filone; i vettori $e_1$ ed $e_2$ ne stabiliscono l’orientamento nello spazio, mentre $k_A(z)$ e $k_B(z)$ modificano progressivamente le dimensioni della sezione.

Anche l’andamento dell’asse viene regolarizzato attraverso un fitting, così da evitare che eventuali irregolarità o punti anomali presenti nella nuvola producano variazioni brusche nell’orientamento delle sezioni. La traiettoria ricostruita viene inoltre controllata rispetto ai due elementi ancora esistenti dell’ansa lacunosa: il moncone inferiore e l’attacco superiore costituiscono infatti i vincoli principali ai quali la nuova geometria deve raccordarsi.

La ricostruzione finale deriva quindi dalla combinazione di informazioni provenienti da parti differenti del reperto. L’ansa integra fornisce l’andamento generale della curva e la variazione delle dimensioni lungo l’altezza; il frammento conservato dell’ansa danneggiata fornisce invece la forma effettiva della sezione; i due monconi superstiti determinano infine la posizione e l’estensione della porzione da ricostruire.

Generando progressivamente le diverse sezioni lungo la traiettoria e collegandole tra loro, Mathematica permette di ottenere una superficie tridimensionale continua corrispondente al filone mancante. La geometria ricostruita può quindi essere sovrapposta alla nuvola di punti originale, verificando visivamente il raccordo con le parti conservate e la coerenza dell’andamento complessivo.

In questo caso la modellazione matematica assume quindi un ruolo differente rispetto agli altri due vasi: non serve soltanto a sintetizzare una forma già esistente, ma diventa uno strumento per formulare un’ipotesi di ricostruzione. La parte mancante viene ottenuta attraverso un procedimento controllabile e riproducibile, nel quale ogni scelta geometrica deriva dall’analisi delle porzioni effettivamente conservate del manufatto.

Una volta completata la ricostruzione matematica, il modello tridimensionale può essere esportato da Mathematica in un formato compatibile con i principali software di modellazione e produzione digitale, come STL o OBJ. Questo consente di trasformare la ricostruzione virtuale in un oggetto fisico mediante stampa 3D (foto in fondo alla pagina), utile sia per finalità di studio e verifica geometrica sia per realizzare repliche, modelli didattici o integrazioni sperimentali delle parti mancanti.

(Gaia Caliano)