COMETA

La prima fase ha riguardato il corretto orientamento del modello. La nuvola di punti, infatti, non risultava inizialmente perfettamente allineata rispetto all’asse geometrico del vaso. In Mathematica è stato quindi individuato innanzitutto il piano di appoggio, approssimato mediante un fitting ai minimi quadrati attraverso un’equazione del tipo

$$y=ax+bz+c.$$

Dalla normale al piano è stata ricavata una prima trasformazione di rotazione, applicata tramite RotationMatrix, in modo da riportare il vaso in una posizione più coerente rispetto al sistema di riferimento.

 

Il riallineamento è stato successivamente affinato analizzando alcune sezioni orizzontali del corpo. Per ciascuna quota, i punti appartenenti alla sezione sono stati approssimati mediante una circonferenza. I centri delle diverse circonferenze hanno consentito di ricostruire l’andamento dell’asse reale del vaso e di verificare eventuali inclinazioni residue. Sulla base di queste informazioni è stata applicata una seconda correzione della rotazione, ottenendo così un orientamento più preciso e coerente con la geometria effettiva del reperto. L’origine del sistema di riferimento è stata infine collocata lungo l’asse del vaso, in corrispondenza del piano di appoggio.

Una volta completato il riallineamento, si è passati all’analisi delle sezioni, necessaria per individuare il profilo più rappresentativo. In particolare, è stata costruita una sezione verticale passante per l’asse del vaso, il cui orientamento può essere modificato interattivamente in Mathematica.

Indicando con $\alpha$ l’angolo del piano di sezione e descrivendo ciascun punto mediante il proprio raggio $r$ e l’angolo $\varphi$, vengono calcolate la distanza del punto dal piano

$$d=r\sin(\varphi-\alpha)$$

e la coordinata interna al piano stesso

$$s=r\cos(\varphi-\alpha).$$

Sono quindi selezionati esclusivamente i punti per i quali il valore assoluto di $d$ risulta inferiore a una determinata tolleranza. Attraverso Manipulate è possibile variare contemporaneamente l’angolo della sezione e il suo spessore, osservando in tempo reale come cambia il profilo ottenuto.

Questa fase permette di confrontare diverse sezioni verticali e di scegliere quella che descrive in maniera più efficace la geometria generale del vaso, evitando zone caratterizzate da irregolarità locali o deformazioni. Le due metà opposte della sezione possono inoltre essere visualizzate contemporaneamente e sovrapposte, così da verificare il grado di simmetria del reperto.

Una volta individuata la sezione più rappresentativa, viene isolato uno dei due mezzi profili e suddiviso in più porzioni corrispondenti alle principali variazioni della geometria: corpo, collo, sottofaccia, bordo esterno e sommità. La scomposizione in rami distinti consente di descrivere separatamente parti caratterizzate da curvature differenti, evitando di affidare l’intero profilo a un’unica funzione troppo complessa.

Su ciascun ramo vengono quindi individuati alcuni punti significativi direttamente attraverso un’interfaccia interattiva. L’ordine dei punti segue lo sviluppo geometrico del profilo e costituisce la base per la successiva parametrizzazione.

A ogni punto viene associato un parametro $u$, compreso tra 0 e 1, distribuito secondo la distanza cordale. La progressione del parametro non è quindi uniforme, ma tiene conto della reale distanza geometrica tra punti consecutivi. Questo permette di rappresentare in maniera più corretta sia le zone maggiormente curve sia quelle caratterizzate da un andamento più regolare.

  

Ciascun ramo viene poi trasformato in una curva matematica continua mediante due equazioni parametriche:

$$s(u)=s_0+(s_1-s_0)u+\sum_j a_j\sin(j\pi u)$$ $$y(u)=y_0+(y_1-y_0)u+\sum_j b_j\sin(j\pi u),$$

con

$$0\leq u\leq1.$$

Il termine lineare descrive il collegamento tra il punto iniziale e quello finale del ramo, mentre la somma delle armoniche sinusoidali introduce le correzioni necessarie per adattare la curva all’andamento reale del profilo.

Questa formulazione presenta un vantaggio importante: poiché i termini $\sin(j\pi u)$ si annullano per $u=0$ e $u=1$, l’aggiunta delle armoniche modifica esclusivamente la parte interna della curva, lasciando invariati i punti estremi. In questo modo è possibile controllare la forma del ramo senza alterarne i collegamenti con le porzioni adiacenti.

I coefficienti $a_j$ e $b_j$ vengono determinati automaticamente in Mathematica mediante LeastSquares. Il numero di armoniche può essere variato in funzione del grado di complessità del profilo: aumentando il loro numero la curva segue più fedelmente i punti selezionati, mentre utilizzandone un numero minore si ottiene una geometria più regolare e idealizzata.

La parametrizzazione permette quindi di trasformare il profilo discreto, inizialmente costituito da una semplice successione di punti, in un insieme di equazioni matematiche continue. Una volta determinati i coefficienti, il profilo può essere ricostruito indipendentemente dalla nuvola di punti originaria.

La fase conclusiva consiste nella generazione tridimensionale del vaso. Le curve bidimensionali ottenute vengono fatte ruotare attorno all’asse del reperto secondo la trasformazione

$$\{x,y,z\}= \{s(u)\cos\theta,\, y(u),\, s(u)\sin\theta\}.$$

Variando il parametro $\theta$, ogni punto del profilo descrive una circonferenza attorno all’asse e genera così una superficie di rivoluzione. Le diverse porzioni vengono quindi riunite in un unico modello tridimensionale continuo.

Il confronto finale tra la superficie matematica e la nuvola originale consente di verificare l’efficacia della parametrizzazione e di mettere in evidenza gli eventuali scostamenti dalla condizione ideale di simmetria assiale. La ricostruzione non sostituisce quindi il dato rilevato, ma ne costituisce una sintesi geometrica: il modello matematico descrive la forma regolare del vaso, mentre le differenze rispetto alla nuvola permettono di leggere deformazioni, asimmetrie e irregolarità proprie del manufatto reale.

 

 

(Gaia Caliano)